在做时序预测时，一个显然的思路是：认为离着预测点越近的点，作用越大。
例如某人体重，去年某个月120斤，本月100斤，显然对于预测下个月体重而言，本月的数据影响力更大些。由此，假设随着时间的前推，权重以指数方式下降：最近为$0.8$，然后之前依次为$0.8^2$，$0.8^3$…，最终时间久远的数据，权重将接近于0。
这种将前推时刻的权重，按照指数级进行衰减的思想，这就是指数平滑法的核心思想。

指数平滑法有几种不同形式：

• 一次指数平滑法针对没有趋势和季节性的序列；
• 二次指数平滑法针对有趋势但没有季节性的序列；
• 三次指数平滑法（Holt-Winters）针对有趋势也有季节性的序列。

趋势 -> 线性；季节性 -> 周期性。

所有的指数平滑法，更新平滑值时，都使用上一时刻的平滑值，并使用当前时刻的实际值。
它们通过混合新旧信息来实现，而相关的新旧信息的权重由一个可调整的参数来控制。

一次指数平滑

一次指数平滑法的递推关系如下：

$$s_i = \alpha x_i + (1 - \alpha) s_{i-1}$$

其中，$s_i$是$i$时刻的平滑值，$x_i$是$i$时刻的数据实际值。$\alpha$取值0到1之间，它控制着新旧信息之间的平衡：当$\alpha$接近1，就只保留当前数据点；当$\alpha$接近0时，就只保留前面的平滑值（整个曲线都是平的）。

展开递推关系式：

$$\begin{align*} s_i &= \alpha x_i + (1 - \alpha) s_{i-1} \\ &= \alpha x_i + (1 - \alpha) [\alpha x_{i-1} + (1 - \alpha) s_{i-2}] \\ &= \alpha x_i + (1 - \alpha) \{\alpha x_{i-1} + (1 - \alpha) [\alpha x_{i-2} + (1 - \alpha) s_{i-3}]\} \\ &= \alpha [x_i + (1 - \alpha) x_{i-1} + (1 - \alpha)^2 x_{i-2} + (1 - \alpha)^3 s_{i-3}] \\ &= ... \\ &= \alpha \sum_{j=0} (1 - \alpha)^j x_{i-j} \end{align*}$$

可以看出，在指数平滑法中，所有先前的观测值都对当前的平滑值产生了影响，但它们所起的作用随着参数$\alpha$的幂的增大而逐渐减小。即，那些相对较早的观测值所起的作用相对较小。因此，称$\alpha$为记忆“衰减因子”可能更合适：因为$\alpha$的值越大，模型对历史数据“遗忘”的就越快。从某种程度来说，指数平滑法就像是拥有无限记忆（平滑窗口足够大）且权值呈指数级递减的移动平均法。

一次指数平滑所得的计算结果可以在数据集及范围之外进行扩展，因此也就可以用来进行预测。
预测时：

$$x_{i+1} = s_i$$

$s_i$是最后一个已经算出来的平滑值。$x_{i+1}$代表预测的下一个值。
即，将当前时刻的平滑值，作为对下一时刻值的预测。

二次指数平滑

在介绍二次指数平滑前介绍一下趋势的概念。
趋势，或者说斜率的定义很简单：$b = \Delta y / \Delta x$，其中$\Delta x$为两点在X坐标轴的变化值，而对于一个序列而言，相邻两个点$\Delta x = 1$，因此$b = \Delta y = y_x - y_{x-1}$。
除了用点的增长量表示，也可以用二者的比值表示趋势。比如可以说一个物品比另一个贵20块钱，等价地也可以说贵了5%，前者称为可加的（addtive），后者称为可乘的（multiplicative）。在实际应用中，可乘的模型预测稳定性更佳，但是为了便于理解，我们在这以可加的模型为例进行推导。

指数平滑考虑的是数据的baseline，二次指数平滑在此基础上将趋势作为一个额外考量，保留了趋势的详细信息。即我们保留并更新两个量的状态：平滑后的信号和平滑后的趋势。公式如下：

$$\begin{align*} s_i &= \alpha x_i + (1 - \alpha) (s_{i-1} + t_{i-1}) \\ t_i &= \beta (s_i - s_{i-1}) + (1 - \beta)t_{i-1} \end{align*}$$

第二个等式描述了平滑后的趋势。当前的未平滑趋势，是当前平滑值（$s_i$）和上一个平滑值（$s_{i-1}$）的差；也就是说，当前趋势告诉我们，在上一个时间步长中，平滑信号改变了多少。要想使趋势平滑，我们用一次指数平滑法对趋势进行处理，并使用参数$\beta$（地位类似$\alpha$）。

为获得平滑信号，我们像上次那样进行一次混合，但要同时考虑到上一个平滑信号及趋势。假设单个步长时间内保持着上一个趋势（增加一些），那么第一个等式的最后那项就可以对当前平滑信号进行估计。

预测时：

$$\begin{align*} x_{i+1} &= s_i + t_i \\ x_{i+h} &= s_i + ht_i \end{align*}$$

取最后平滑值，然后每增加一个时间步长，就在该平滑值上增加一次最后那个平滑趋势。

三次指数平滑 Holt-Winters

当一个序列在每个固定的时间间隔中都出现某种重复的模式，就称之具有季节性特征，而这样的一个时间间隔称为一个季节。
一个季节的长度$L$为它所包含的序列点个数。

二次指数平滑考虑了序列的baseline和趋势，三次就是在此基础上增加了一个季节分量。类似于趋势分量，对季节分量也要做指数平滑。

$$\begin{align*} s_i &= \alpha (x_i - p_{i-L}) + (1 - \alpha)(s_{i-1} + t_{i-1}) \\ t_i &= \beta (s_i - s_{i-1}) + (1 - \beta) t_{i-1} \\ p_i &= \gamma (x_{i} - s_{i}) + (1-\gamma) p_{i-L} \end{align*}$$

预测时：

$$x_{i+h} = s_i + ht_i + p_{i-L+(h \text{ mod } L)}$$

上述公式为加法模型。当季节变化在该时间序列中大致保持不变时，通常选择加法模型；而当季节变化与时间序列的水平成比例变化时，通常选择乘法模型。